初一数学上册同步讲解练习 有理数 19页

有理数
典例体系

一、知识点
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限
小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。



2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类

⑵按正、负来分

总结：①正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0 统称为非正整数；③正有理数、0 统称为
非负有理数；④负有理数、0 统称为非正有理数；
3.数轴
（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；
③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
（2）数轴上的点与有理数的关系
①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的
点表示，0 用原点表示。
②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴
上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点 π 不是有理数）
（3）利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
②正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；
③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。



（4）数轴上特殊的最大（小）数
①最小的自然数是 0，无最大的自然数；
②最小的正整数是 1，无最大的正整数；
③最大的负整数是-1，无最小的负整数
（5）a 可以表示什么数
①a>0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a>0；
②a<0 表示 a 是负数；反之，a 是负数，则 a<0
③a=0 表示 a 是 0；反之，a 是 0,，则 a=0
4.相反数
（1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是 0。
注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
③0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0。
（2）相反数的性质与判定
①任何数都有相反数，且只有一个；
②0 的相反数是 0；
③互为相反数的两数和为 0，和为 0 的两数互为相反数，即 a，b 互为相反数，则 a+b=0
（3）相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点
（0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0 的相反数对应原点；原点表示 0 的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
（4）相反数的求法
①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5 的相反数是-5）；
②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b 的相反数是-（5a+b）。化
简得-5a-b）；
③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5 的相反数是-（-5），化简得 5)
（5）相反数的表示方法
①一般地，数 a 的相反数是-a ，其中 a 是任意有理数，可以是正数、负数或 0。
当 a>0 时，-a<0（正数的相反数是负数）
当 a<0 时，-a>0（负数的相反数是正数）



当 a=0 时，-a=0，（0 的相反数是 0）
5.绝对值
①绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。
②绝对值的代数定义
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.
可用字母表示为：
如果 a>0，那么|a|=a； 如果 a<0，那么|a|=-a； ③如果 ...