2022年天津市红桥区中考数学结课试卷 (word版含答案) 24页

2022年天津市红桥区中考数学结课试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．2．（3分）cos30°的值等于（　　）A．B．C．1D．3．（3分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）A．y＝3xB．y＝2x2C．y＝D．y＝4．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（　　）A．B．C．D．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，下列结论中正确的是（　　）nA．sinA＝B．cosA＝C．tanC＝D．cosC＝6．（3分）方程x2+x﹣2＝0的两个根为（　　）A．x1＝﹣2，x2＝1B．x1＝﹣1，x2＝2C．x1＝﹣2，x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝27．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（　　）A．8.2B．6.4C．5D．1.88．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y39．（3分）关于某个函数的解析式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象过点（﹣1，1）；乙：函数图象经过第四象限；丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．则这个函数的解析式可能是（　　）A．y＝x2B．y＝﹣xC．y＝D．y＝﹣10．（3分）已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（　　）nA．20°B．30°C．40°D．50°11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，则下列结论一定正确的是（　　）A．∠CDF＝∠AB．A1E＝CFC．∠A1DE＝∠C1D．DF＝FC12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（1，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③函数的最大值为﹣4a；④当﹣3≤x≤0时，0≤y≤c．其中，正确结论的个数是（　　）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）tan45°的值等于　　．14．（3分）一个不透明的袋子里装有8个球，其中有5个红球，3个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为　　．15．（3分）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为　　．16．（3分）若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k的值为　　．17．（3分）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC＝　　．18．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在nAB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为　　．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ADC＝∠ACB，若AD＝2，AC＝3，BC＝5，求BD，CD的长．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求sinA，cosA，tanA的值．21．（10分）如图，它是反比例函数y＝（m为常数，且m≠2）图象的一支．（Ⅰ）图象的另一支位于哪个象限？求m的取值范围；（Ⅱ）点A（2，﹣3）在该反比例函数的图象上．①判断点B（3，﹣2），C（4，﹣2），D（1，﹣6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；②在该函数图象的某一支上任取点M（x1，y1）和N（x2，y2）．如果x1＜x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？n22．（10分）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．23．（10分）如图，一艘轮船由西向东航行，在点A处测得小岛C在它的北偏东53°方向，此时轮船与小岛C相距25nmile，继续航行到达点B处，测得小岛C在它的西北方向，求此时轮船与小岛的距离BC和轮船航行的距离AB（结果保留小数点后一位）．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．24．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≠0）经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C．点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，与y轴相交于点D．（Ⅰ）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）连接BC，当∠ODB＝2∠BCO时，求直线PB的解析式；（Ⅲ）连接AC，与PB相交于点Q，当取得最大值时，求点P的坐标．n2022年天津市红桥区中考数学结课试卷（教师解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：A．本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（3分）cos30°的值等于（　　）A．B．C．1D．【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【解答】解：cos30°＝．故选：B．此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容．3．（3分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）nA．y＝3xB．y＝2x2C．y＝D．y＝【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．【解答】解：A、y＝3x是一次函数，故此选项不符合题意；B、y＝2x2是二次函数，故此选项不符合题意；C、y＝，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．D、y＝不符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；故选：C．本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式的一般形式：y＝（k≠0）是解题的关键．4．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（　　）A．B．C．D．【分析】根据三视图的定义求解即可．【解答】解：主视图：底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；左视图：底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图：底层右侧是两个小正方形，上层左侧是两个小正方形；故选：B．n本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，下列结论中正确的是（　　）A．sinA＝B．cosA＝C．tanC＝D．cosC＝【分析】根据锐角三角函数的定义解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，则sinA＝，cosA＝，tanC＝，cosC＝．故选：C．本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．6．（3分）方程x2+x﹣2＝0的两个根为（　　）A．x1＝﹣2，x2＝1B．x1＝﹣1，x2＝2C．x1＝﹣2，x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝2【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：x2+x﹣2＝0，（x+2）（x﹣1）＝0，x+2＝0或x﹣1＝0，x1＝﹣2，x2＝1，故选：A．本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．7．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（　　）A．8.2B．6.4C．5D．1.8n【分析】根据△CBF∽△ABE，可以求得CF的长，根据平行四边形的性质可以得到CD的长，然后即可计算出DF的长．【解答】解：∵△CBF∽△ABE，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，∴BC＝AD＝6，AE＝3，AB＝CD＝10，∴，解得CF＝1.8，∴DF＝CD﹣CF＝10﹣1.8＝8.2，故选：A．本题考查相似三角形的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是求出CF的长．8．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3【分析】根据k＞0，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．【解答】解：∵k＝2＞0，∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，根据A，B，C点横坐标，可知点A，B在第三象限，C在第一象限，∴y2＜y1＜y3；故选：D．本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．9．（3分）关于某个函数的解析式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象过点（﹣1，1）；乙：函数图象经过第四象限；丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．则这个函数的解析式可能是（　　）A．y＝x2B．y＝﹣xC．y＝D．y＝﹣【分析】结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．【解答】解：把点（﹣1，1）分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项C不符合题意；n又函数过第四象限，而y＝x2只经过第一、二象限，故选项A不符合题意；对于函数y＝﹣x，当x＞0时，y随x的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项B不符合题意；对于函数y＝﹣，图象过点（﹣1，1），函数图象经过第四象限，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意．故选：D．本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．10．（3分）已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（　　）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】由作法得OD＝OC，DO＝DE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠OCD＝∠ODC＝70°，∠DEO＝∠DOE＝40°，然后利用三角形外角性质计算∠CDE的度数．【解答】解：由作法得OD＝OC，DO＝DE，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣40°）＝70°，∵DO＝DE，∴∠DEO＝∠DOE＝40°，∵∠OCD＝∠CDE+∠DEC，∴∠CDE＝70°﹣40°＝30°．故选：B．n本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，则下列结论一定正确的是（　　）A．∠CDF＝∠AB．A1E＝CFC．∠A1DE＝∠C1D．DF＝FC【分析】根据将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1，可证明△A1BF≌△CBE，从而可得A1E＝CF，即可得到答案．【解答】解：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1，∴A1B＝AB＝BC，∠A1＝∠A＝∠C，在△A1BF和△CBE中，∴△A1BF≌△CBE（ASA），∴BF＝BE，∴A1B﹣BE＝BC﹣BF，即A1E＝CF，故B正确，其它选项的结论都不能证明，故选：B．本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握掌握旋转的性质，证明△A1BF≌△CBE．12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（1，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③函数的最大值为﹣4a；④当﹣3≤x≤0时，0≤y≤c．其中，正确结论的个数是（　　）nA．0B．1C．2D．3【分析】由图象知，a＜0，c＞0，因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，可得﹣，所以b＝2a＜0，可得abc＞0，可判断①；利用a+b+c＝0，可得2a+c＝b+c＝﹣a，即可判断②；由图象知，当x＝﹣1时，函数取得最大值，即函数的最大值为a﹣b+c，进而可判断③；由图象可知，当x＝﹣3时，抛物线取得最小值，当x＝﹣1时，抛物线取得最大值，故当﹣3≤x≤0时，0≤y≤﹣4a，可判断④．【解答】解：由图象知，a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴﹣，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线过点A（1，0），∴a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a．则2a+c＝b+c＝﹣a＞0，故②正确；∵a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b＝﹣a﹣2a＝﹣3a，由图象知，当x＝﹣1时，函数取得最大值，∴函数的最大值为a﹣b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a．故③正确；由抛物线的对称性可知，抛物线过点（﹣3，0），∴当x＝﹣3时，抛物线取得最小值为0，n当x＝﹣1时，抛物线取得最大值为﹣4a．∴当﹣3≤x≤0时，0≤y≤﹣4a．故④错误．∴正确的结论有3个．故选：D．本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）tan45°的值等于　1　．【分析】直接利用特殊角的三角函数值，得出答案．【解答】解：tan45°＝1．故答案为：1．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．14．（3分）一个不透明的袋子里装有8个球，其中有5个红球，3个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为　　．【分析】直接根据概率公式求解．【解答】解：∵盒子中装有5个红球，3个白球，共有8个球，∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是；故答案为：．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．15．（3分）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为　y＝﹣　．【分析】先设y＝，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．【解答】解：设y＝，把点（1，﹣2）代入函数y＝得k＝﹣2，则反比例函数的解析式为y＝﹣，n故答案为y＝﹣．主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．16．（3分）若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k的值为　4　．【分析】根据抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，可知Δ＝0，从而可以求得k的值．【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，∴△＝42﹣4×1×k＝0，解得，k＝4，故答案为：4．本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17．（3分）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC＝　105°　．【分析】连接OB，根据题意得出∠AOB＝90°，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB＝45°，根据三角形内角和即可求解．【解答】解：如图，连接OB，∵OA＝OB＝1，AB＝，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°，∵∠CAB＝30°，n∴∠ABC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故答案为：105°．本题考查圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．18．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为　　．【分析】由翻折得出AD＝DF，∠A＝∠DFE，再根据FD平分∠EFB，得出∠DFH＝∠A，然后借助相似列出方程即可．【解答】解：如图，过点D作DH⊥BC于H，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝5．∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，∴AD＝DF，∠A＝∠DFE，∵FD平分∠EFB，∴∠DFE＝∠DFH，∴∠DFH＝∠A，设DH＝3x，在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sinA＝，∴DF＝5x，∴BD＝5﹣5x，∵△BDH∽△BAC，∴＝，∴＝，n∴x＝，∴AD＝5x＝．故答案是：．本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ADC＝∠ACB，若AD＝2，AC＝3，BC＝5，求BD，CD的长．【分析】根据两角相等的两个三角形相似证明△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴＝＝，∴＝＝，∴AB＝，DC＝，∴BD＝AB﹣AD＝﹣2＝，∴BD的长为，CD的长为．本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．n20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求sinA，cosA，tanA的值．【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，∴AB＝＝＝2，sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝．本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA是解题的关键．21．（10分）如图，它是反比例函数y＝（m为常数，且m≠2）图象的一支．（Ⅰ）图象的另一支位于哪个象限？求m的取值范围；（Ⅱ）点A（2，﹣3）在该反比例函数的图象上．①判断点B（3，﹣2），C（4，﹣2），D（1，﹣6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；②在该函数图象的某一支上任取点M（x1，y1）和N（x2，y2）．如果x1＜x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？n【分析】（Ⅰ）根据反比例函数图象的一支在第二象限，可确定另一分支，并根据m﹣2＜0，求出m取值范围；（Ⅱ）将点A代入反比例函数解析式，求出m＝﹣4，①根据反比例函数解析式即可判断点在不在反比例函数图像上；②根据反比例函数增减性比较即可．【解答】解：（Ⅰ）∵反比例函数y＝（m为常数，且m≠2）图象的一支在第二象限，∴另一支在第四象限，∴m﹣2＜0，解得m＜2；（Ⅱ）∵点A（2，﹣3）在该反比例函数的图象上，∴2×（﹣3）＝m﹣2，解得m＝﹣4，∴反比例函数解析式，①点B，D在反比例函数图象上，点C不在，理由如下：∵3×（﹣2）＝﹣6，∴点B在反比例函数图象上，∵4×（﹣2）＝﹣8≠﹣6，∴点C不在反比例函数图象上，∵1×（﹣6）＝﹣6，∴点D在反比例函数图象上，综上，点B，D在反比例函数图象上，点C不在；②∵﹣6＜0，∴反比例函数在每一分支上，y随着x增大而增大，∵x1＜x2，∴y1＜y2．n本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．22．（10分）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【分析】（Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC＝∠DAC＝30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB＝90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠BAC＝∠DAC＝30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°﹣∠B，n∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE＝90°+18°＝108°，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣108°＝72°，∴∠BAF＝90°﹣∠B＝90°﹣72°＝18°．此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．23．（10分）如图，一艘轮船由西向东航行，在点A处测得小岛C在它的北偏东53°方向，此时轮船与小岛C相距25nmile，继续航行到达点B处，测得小岛C在它的西北方向，求此时轮船与小岛的距离BC和轮船航行的距离AB（结果保留小数点后一位）．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．【分析】过点C作CD⊥AB于D，由sin37°＝，cos37°＝，求出CD与AD的长，再由△BDC是等腰直角三角形，得CD＝BD，BC＝CD，即可得出结果．【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，如图所示：则∠CDA＝∠CDB＝90°，由题意得：∠CAD＝37°，∠CBD＝45°，AC＝25nmile，在Rt△ADC中，sin∠CAD＝，cos∠CAD＝，∴CD＝sin37°×AC≈0.60×25＝15（nmile），AD＝cos37°×AC≈0.8×25＝20（nmile），n∵∠CBD＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴CD＝BD，BC＝CD≈1.414×15≈21.2（nmile），∴AB＝AD+BD＝AD+CD≈20+15＝35（nmile），答：此时轮船与小岛的距离BC约为21.2nmile，轮船航行的距离AB约为35nmile．本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．24．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≠0）经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C．点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，与y轴相交于点D．（Ⅰ）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）连接BC，当∠ODB＝2∠BCO时，求直线PB的解析式；（Ⅲ）连接AC，与PB相交于点Q，当取得最大值时，求点P的坐标．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求出答案；（Ⅱ）由∠ODB＝2∠BCO以及三角形外角的性质可得∠CBD＝∠BCO，则BD＝CD，设OD＝a，则CD＝4﹣a，BD＝4﹣a，运用勾股定理可求得a＝，得出D（0，），再利用待定系数法即可求出答案；（Ⅲ）过点P作PE⊥x轴于E，与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，利用待定系数法求出直线AC表达式，再利用BM∥PN，可得△PNQ∽△BMQ，进而得出，设P（t，﹣t2﹣3t+4）（﹣4＜t＜0），则N（t，t+4），从而得到＝，利用二次函数的性质即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），n∴，解得：，∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；（Ⅱ）如图，∵∠ODB＝2∠BCO，ODB＝∠BCO+∠CBD，∴∠CBD＝∠BCO，∴BD＝CD，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），OC＝4，设OD＝a，则CD＝4﹣a，∴BD＝4﹣a，在Rt△BOD中，由勾股定理得：BD2＝OD2+OB2，∴（4﹣a）2＝a2+12，解得：a＝，∴D（0，），设BP所在直线表达式为y＝kx+e（k≠0），∴，解得：，∴直线BP的表达式为y＝﹣x+；n（Ⅲ）如图，过点P作PE⊥x轴于E，与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，设直线AC表达式为y＝mx+n，∵A（﹣4，0），C（0，4），∴，解得：，∴直线AC表达式为y＝x+4，∴M点的坐标为（1，5），∴BM＝5，∵BM∥PN，∴△PNQ∽△BMQ，∴，设P（t，﹣t2﹣3t+4）（﹣4＜t＜0），则N（t，t+4），∴＝＝，∴当t＝﹣2时，有最大值，此时，点P的坐标为（﹣2，6）．本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识是解题的关键．n